有理数 $a, b, c, d$ に対して、$a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6} = 0$ ならば、$a = b = c = d = 0$ となることを証明する。ただし、$ \sqrt{2} $, $ \sqrt{3} $, $ \sqrt{6} $ が無理数であることは用いて良い。

1. 問題の内容

有理数 $a, b, c, d$ に対して、$a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6} = 0$ ならば、$a = b = c = d = 0$ となることを証明する。ただし、$\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{6}$ が無理数であることは用いて良い。

2. 解き方の手順

まず、$a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6} = 0$ を変形する。

$a + b\sqrt{2} = -c\sqrt{3} - d\sqrt{6}$

両辺を2乗すると、

$(a + b\sqrt{2})^2 = (-c\sqrt{3} - d\sqrt{6})^2$

$a^2 + 2ab\sqrt{2} + 2b^2 = 3c^2 + 6cd\sqrt{2} + 6d^2$

$(a^2 + 2b^2 - 3c^2 - 6d^2) + (2ab - 6cd)\sqrt{2} = 0$

ここで、$a, b, c, d$ は有理数なので、$a^2 + 2b^2 - 3c^2 - 6d^2$ と $2ab - 6cd$ も有理数である。また、$\sqrt{2}$ は無理数である。したがって、

$a^2 + 2b^2 - 3c^2 - 6d^2 = 0$

$2ab - 6cd = 0$

$2ab - 6cd = 0$ より、$ab = 3cd$

$a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6} = 0$ を変形して、

$c\sqrt{3} + d\sqrt{6} = -a - b\sqrt{2}$

両辺を2乗して、

$3c^2 + 2cd\sqrt{18} + 6d^2 = a^2 + 2ab\sqrt{2} + 2b^2$

$3c^2 + 6d^2 + 6cd\sqrt{2} = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt{2}$

$(3c^2 + 6d^2 - a^2 - 2b^2) + (6cd - 2ab)\sqrt{2} = 0$

$(3c^2 + 6d^2 - a^2 - 2b^2) = 0$

$(6cd - 2ab) = 0$

$3c^2 + 6d^2 - a^2 - 2b^2 = 0$

$ab = 3cd$

$a^2 + 2b^2 - 3c^2 - 6d^2 = 0$

$3c^2 + 6d^2 - a^2 - 2b^2 = 0$

両式を足すと $0 = 0$ となり、$a^2 + 2b^2 = 3c^2 + 6d^2$ が得られる。

この式と、$2ab - 6cd = 0$ または $ab = 3cd$ を用いる。

ここで、$a = b = c = d = 0$ を示すために、$a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6} = 0$ を、$a + \sqrt{2}b = -(\sqrt{3}c + \sqrt{6}d)$ と変形し、もし、$c$ または $d$ が0でなければ、$\sqrt{3} = \frac{-(a + \sqrt{2}b)}{c + \sqrt{2}d}$ となって矛盾する。

同様に、$a$ と $b$ が0でない場合、$\sqrt{2}$ が有理数で表せることになり矛盾する。

したがって、$a = b = c = d = 0$ である。

3. 最終的な答え

$a = b = c = d = 0$