三角形ABCの内部の点Pと3頂点A, B, Cを結ぶ直線が、それぞれ対辺BC, CA, ABと点D, E, Fで交わっています。BD:DC = 2:1, CP:PF = 2:3のとき、CE:EAを求めなさい。

1. 問題の内容

三角形ABCの内部の点Pと3頂点A, B, Cを結ぶ直線が、それぞれ対辺BC, CA, ABと点D, E, Fで交わっています。BD:DC = 2:1, CP:PF = 2:3のとき、CE:EAを求めなさい。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理を利用して解きます。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、頂点A, B, Cから対辺に引いた直線が、それぞれ点D, E, Fで交わるとき、次の式が成り立つという定理です。

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

問題文より、BD:DC = 2:1, CP:PF = 2:3なので、$\frac{BD}{DC} = \frac{2}{1}$, $\frac{CP}{PF} = \frac{2}{3}$です。また、AF:FBの値はわかっていませんが、チェバの定理を用いるために、$\frac{AF}{FB}$の値を求めなければなりません。

ここで、メネラウスの定理を用います。

メネラウスの定理とは、三角形ABCにおいて、直線が辺BC, CA, ABまたはその延長と、それぞれ点D, E, Fで交わるとき、次の式が成り立つという定理です。

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

今回は、三角形ABFと直線PCを考えます。

$\frac{AP}{PE} \cdot \frac{EC}{CB} \cdot \frac{BD}{DA} = 1$

ここで$\frac{BD}{DC}$はわかっているが、$\frac{CE}{EA}$、$\frac{AF}{FB}$がわかっていません。

三角形ABCにおいて、点Pを内部に持つことからチェバの定理を用います。

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$\frac{AF}{FB}=\frac{2}{3}$

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{3}{5} = 1$

$\frac{CE}{EA} = \frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

CE:EA = 5:6