行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$A^3 - 3A^2 - 8A - 4I$ を計算せよ。ここで、$I$ は単位行列を表す。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$A^3 - 3A^2 - 8A - 4I$ を計算せよ。ここで、$I$ は単位行列を表す。

2. 解き方の手順

まず、$A^2$ と $A^3$ を計算する。次に、与えられた式 $A^3 - 3A^2 - 8A - 4I$ に代入して計算を行う。

ステップ1: $A^2$ を計算する。

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 & 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \\ 2 \cdot 2 + 4 \cdot 2 & 2 \cdot 3 + 4 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 18 \\ 12 & 22 \end{pmatrix}$

ステップ2: $A^3$ を計算する。

$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 10 & 18 \\ 12 & 22 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \cdot 2 + 18 \cdot 2 & 10 \cdot 3 + 18 \cdot 4 \\ 12 \cdot 2 + 22 \cdot 2 & 12 \cdot 3 + 22 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 56 & 102 \\ 68 & 124 \end{pmatrix}$

ステップ3: $A^3 - 3A^2 - 8A - 4I$ を計算する。

$A^3 - 3A^2 - 8A - 4I = \begin{pmatrix} 56 & 102 \\ 68 & 124 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 10 & 18 \\ 12 & 22 \end{pmatrix} - 8\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} - 4\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 56 & 102 \\ 68 & 124 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 30 & 54 \\ 36 & 66 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 16 & 24 \\ 16 & 32 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 56 - 30 - 16 - 4 & 102 - 54 - 24 - 0 \\ 68 - 36 - 16 - 0 & 124 - 66 - 32 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 24 \\ 16 & 22 \end{pmatrix}$

ステップ4: 特性多項式を利用する

行列 A の特性多項式を求める。

$\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 3 \\ 2 & 4-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)(4-\lambda) - 3 \cdot 2 = 8 - 6\lambda + \lambda^2 - 6 = \lambda^2 - 6\lambda + 2$

ケーリー・ハミルトンの定理より、$A^2 - 6A + 2I = 0$ が成り立つ。

$A^2 = 6A - 2I$

$A^3 = A A^2 = A(6A - 2I) = 6A^2 - 2A = 6(6A - 2I) - 2A = 36A - 12I - 2A = 34A - 12I$

よって、$A^3 - 3A^2 - 8A - 4I = (34A - 12I) - 3(6A - 2I) - 8A - 4I = 34A - 12I - 18A + 6I - 8A - 4I = 8A - 10I$

$8A - 10I = 8\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} - 10\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 24 \\ 16 & 32 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 24 \\ 16 & 22 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 6 & 24 \\ 16 & 22 \end{pmatrix}$