問題は、式 $(b+c)(c+a)(a+b)+abc$ を展開して簡単にすることです。

1. 問題の内容

問題は、式 $(b+c)(c+a)(a+b)+abc$ を展開して簡単にすることです。

2. 解き方の手順

まず、$(b+c)(c+a)(a+b)$ を展開します。

$(b+c)(c+a)$ を展開すると、$bc + ba + c^2 + ca$ となります。

次に、これを $(a+b)$ と掛け合わせます。

$(bc + ba + c^2 + ca)(a+b) = bc(a+b) + ba(a+b) + c^2(a+b) + ca(a+b)$

$= abc + b^2c + a^2b + ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2c + abc$

$= 2abc + b^2c + a^2b + ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2c$

したがって、$(b+c)(c+a)(a+b)+abc = 2abc + b^2c + a^2b + ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2c + abc$

$= 3abc + b^2c + a^2b + ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2c$

次に、この式を因数分解できるか試します。

$3abc + b^2c + a^2b + ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2c = (a+b)(b+c)(c+a)+abc$

$3abc + a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2$を整理すると

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

ここで、 $(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開すると、

$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$

したがって、$(b+c)(c+a)(a+b)+abc = (a+b)(b+c)(c+a)+abc = a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 3abc$

$(a+b)(b+c)(c+a)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2b + abc + a^2c + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + ac^2 = a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 3abc$

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$