## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

以下の2つの問題を解きます。

(1) $(\sqrt{5} + \sqrt{3} - 2\sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3} + 2\sqrt{2})$ を計算する。

(2) $|3 - 2\sqrt{2}| + |1 - 2\sqrt{2}|$ を計算する。

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2. 解き方の手順

### (1) $(\sqrt{5} + \sqrt{3} - 2\sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3} + 2\sqrt{2})$

この式は、$A = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ とおくと、$(A - 2\sqrt{2})(A + 2\sqrt{2})$ と表せるので、和と差の積の公式 $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ を利用できます。

したがって、

$(\sqrt{5} + \sqrt{3} - 2\sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3} + 2\sqrt{2}) = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - (2\sqrt{2})^2$

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$ を展開すると、 $(\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$

$(2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8$

したがって、$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - (2\sqrt{2})^2 = (8 + 2\sqrt{15}) - 8 = 2\sqrt{15}$

### (2) $|3 - 2\sqrt{2}| + |1 - 2\sqrt{2}|$

絶対値を計算するには、まず絶対値の中身の正負を判断します。

$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ であることを利用します。

$3 - 2\sqrt{2} = 3 - \sqrt{8}$

$3 = \sqrt{9}$ より、 $\sqrt{9} > \sqrt{8}$ なので $3 - 2\sqrt{2} > 0$。したがって $|3 - 2\sqrt{2}| = 3 - 2\sqrt{2}$

$1 - 2\sqrt{2} = 1 - \sqrt{8}$

$1 = \sqrt{1}$ より、 $\sqrt{1} < \sqrt{8}$ なので $1 - 2\sqrt{2} < 0$。したがって $|1 - 2\sqrt{2}| = -(1 - 2\sqrt{2}) = -1 + 2\sqrt{2}$

よって、$|3 - 2\sqrt{2}| + |1 - 2\sqrt{2}| = (3 - 2\sqrt{2}) + (-1 + 2\sqrt{2}) = 3 - 1 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 2$

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3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{15}$

(2) $2$