一辺が2cmの正三角形ABCを底面とし、$OA = OB = OC = 4$cmである正三角錐OABCがある。辺OB上に点Pをとる。 (1) $AP + PC$の長さが最短になるように結ぶとき、$AP + PC$の長さを求めよ。 (2) (1)のとき、三角錐PABCの体積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺が2cmの正三角形ABCを底面とし、$OA = OB = OC = 4$cmである正三角錐OABCがある。辺OB上に点Pをとる。

(1) $AP + PC$の長さが最短になるように結ぶとき、$AP + PC$の長さを求めよ。

(2) (1)のとき、三角錐PABCの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $AP + PC$の長さを最小にするには、展開図を考える。正三角錐OABCの展開図において、点Aと点Cを結ぶ線分が最短となる。

展開図において、$OA = OB = OC = 4$cmであるから、$\triangle OAB$と$\triangle OBC$は合同な二等辺三角形である。

$\angle AOB = \angle BOC = \theta$とおくと、$\angle AOC = 2\theta$となる。

余弦定理より、$AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 \times OA \times OC \times \cos(2\theta)$

底面ABCは正三角形なので、$AC = 2$cm。よって、

$2^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \times 4 \times 4 \times \cos(2\theta)$

$4 = 16 + 16 - 32 \cos(2\theta)$

$32 \cos(2\theta) = 28$

$\cos(2\theta) = \frac{28}{32} = \frac{7}{8}$

$\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$より、

$2\cos^2(\theta) - 1 = \frac{7}{8}$

$2\cos^2(\theta) = \frac{15}{8}$

$\cos^2(\theta) = \frac{15}{16}$

$\cos(\theta) = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\triangle OAB$において、$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2 - 2OA \times OB \cos\theta} = \sqrt{16 + 16 - 32 \frac{\sqrt{15}}{4}} = \sqrt{32 - 8\sqrt{15}} = 2$

$OA = OB = 4$より、$AB = 2$なので、$\triangle OAB$は二等辺三角形。

$AP + PC$の長さを最短にするには、展開図上でAとCを結んだ線分が最短となる。

$AP + PC$が最短になるのは、Oから見たときにA, P, Cが一直線上に並ぶときである。

$\triangle OAC$において、余弦定理より、$AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2OA \cdot OC \cdot \cos \angle AOC$

$2^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cos \angle AOC$

$4 = 32 - 32 \cos \angle AOC$

$\cos \angle AOC = \frac{28}{32} = \frac{7}{8}$

$AP + PC = AC = \sqrt{OA^2 + OC^2 - 2 \cdot OA \cdot OC \cdot \cos \angle AOC} = \sqrt{16+16-32\frac{7}{8}} = \sqrt{32 - 28} = \sqrt{4} = 2$

展開図上でA, P, Cが一直線上に並ぶとき、$AP+PC$は最短となるので、$AP+PC = AC$である。$\triangle OAB$を展開図で考えると、$\angle AOB = \theta$、$OA = OB = 4$であり、$AB = 2$である。この時、PはOB上にあるので、$OP/OB = \frac{OA}{OA+OC} = \frac{4}{4+4} = \frac{1}{2}$。よって、$OP = \frac{1}{2}OB = 2$。

$AP+PC$の長さは、$A$と$C$を結んだ線分の長さに等しく、$AP+PC=AC$。

(2) 三角錐PABCの体積を求める。

正三角錐OABCの体積は、$V_{OABC} = \frac{1}{3} \times S_{\triangle ABC} \times h$。ここで、$S_{\triangle ABC}$は$\triangle ABC$の面積、$h$はOから底面ABCへの高さである。

$S_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3}$。

$h = \sqrt{OA^2 - R^2}$。ここで、$R$は$\triangle ABC$の外接円の半径であり、$R = \frac{2}{\sqrt{3}}$。

$h = \sqrt{4^2 - (\frac{2}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{16 - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{44}{3}} = 2\sqrt{\frac{11}{3}}$。

$V_{OABC} = \frac{1}{3} \times \sqrt{3} \times 2\sqrt{\frac{11}{3}} = \frac{2\sqrt{11}}{3}$。

$OP:PB = 1:1$なので、$PB = 2$。

三角錐PABCの体積は、三角錐OABCの体積の1/2となる。

$V_{PABC} = \frac{1}{2} V_{OABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{11}}{3} = \frac{\sqrt{11}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $AP+PC = 4\sqrt{\frac{3}{4}} = \sqrt{12}$ cm

(2) $\frac{\sqrt{11}}{3}$ 立方センチメートル