ベクトル $\vec{a} = (-1, -4, 5)$ と $\vec{b} = (2, 1, -3)$ が与えられているとき、以下の問いに答える。 (1) 2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。 (2) $k\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{b}$ が垂直となるような実数 $k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (-1, -4, 5)$ と $\vec{b} = (2, 1, -3)$ が与えられているとき、以下の問いに答える。

(1) 2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。

(2) $k\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{b}$ が垂直となるような実数 $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ は、内積を用いて求めることができる。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(2) + (-4)(1) + (5)(-3) = -2 - 4 - 15 = -21$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42}$

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$

$\cos{\theta} = \frac{-21}{\sqrt{42} \sqrt{14}} = \frac{-21}{\sqrt{6 \cdot 7} \sqrt{2 \cdot 7}} = \frac{-21}{\sqrt{2 \cdot 6 \cdot 7^2}} = \frac{-21}{7\sqrt{12}} = \frac{-3}{\sqrt{12}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\theta = \arccos{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = 150^\circ$

(2) $k\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{b}$ が垂直であるとき、 $(k\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ となる。

$(k\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

$k(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = 0$

$k(-21) + 14 = 0$

$-21k + 14 = 0$

$21k = 14$

$k = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 150^\circ$

(2) $k = \frac{2}{3}$