画像に書かれた3つの数列の漸化式に関する問題を解きます。 (2) $a_1 = 4, 2a_{n+1} + 3a_n = 0$ (3) $a_1 = -1, a_{n+1} = a_n - 3n + 1$ (4) $a_1 = 3, 2a_{n+1} = a_n + 2$

1. 問題の内容

画像に書かれた3つの数列の漸化式に関する問題を解きます。

(2) $a_1 = 4, 2a_{n+1} + 3a_n = 0$

(3) $a_1 = -1, a_{n+1} = a_n - 3n + 1$

(4) $a_1 = 3, 2a_{n+1} = a_n + 2$

2. 解き方の手順

(2)

$2a_{n+1} + 3a_n = 0$ を変形して、

$a_{n+1} = -\frac{3}{2}a_n$

これは等比数列の形なので、

$a_n = a_1 \cdot (-\frac{3}{2})^{n-1}$

$a_1 = 4$ より、

$a_n = 4 \cdot (-\frac{3}{2})^{n-1}$

(3)

$a_{n+1} = a_n - 3n + 1$

$a_{n+1} - a_n = -3n + 1$

階差数列の公式より、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-3k+1)$

$a_1 = -1$ より、

$a_n = -1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-3k+1)$

$= -1 - 3\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= -1 - 3\frac{(n-1)n}{2} + (n-1)$

$= -1 - \frac{3}{2}n^2 + \frac{3}{2}n + n - 1$

$= -\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n - 2$

(4)

$2a_{n+1} = a_n + 2$ を変形して、

$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1$

特性方程式 $x = \frac{1}{2}x + 1$ を解くと、$x = 2$。

$a_{n+1} - 2 = \frac{1}{2}(a_n - 2)$

$b_n = a_n - 2$ とおくと、

$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$

これは等比数列なので、

$b_n = b_1 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

$b_1 = a_1 - 2 = 3 - 2 = 1$ より、

$b_n = 1 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

$a_n = b_n + 2 = (\frac{1}{2})^{n-1} + 2$

3. 最終的な答え

(2) $a_n = 4 \cdot (-\frac{3}{2})^{n-1}$

(3) $a_n = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n - 2$

(4) $a_n = (\frac{1}{2})^{n-1} + 2$