半径2の円Oの外側を、半径1の円Cが外接しながら滑らずに転がる時、円C上の点Pの軌跡を考える。点Pの最初の位置をA(2,0)とする。円Cの中心CがOの周りを$\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$)だけ回転した時の点Pの座標(x,y)を$\theta$で表す。

1. 問題の内容

半径2の円Oの外側を、半径1の円Cが外接しながら滑らずに転がる時、円C上の点Pの軌跡を考える。点Pの最初の位置をA(2,0)とする。円Cの中心CがOの周りを$\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$)だけ回転した時の点Pの座標(x,y)を$\theta$で表す。

2. 解き方の手順

まず、円Oの中心を原点O、円Cの中心をCとする。点Pの初期位置をA(2,0)とする。

円Cが円Oに外接しながら回転するとき、円Cの中心Cは、原点Oを中心とする半径3の円周上にある。

点Cの座標は$(3\cos\theta, 3\sin\theta)$で表される。

次に、円Cが回転した角度を考える。円Cが円Oの周りを$\theta$だけ回転するとき、円Cの中心Cから円Oの中心Oを見る角度は$\theta$である。円Cは円Oに接しながら滑らずに回転するので、円C上の点PがA(2,0)から移動した距離は、円Oに沿った円弧の長さに等しい。この円弧の長さは$2\theta$である。円Cの半径は1なので、円Cが回転した角度は$2\theta$である。

したがって、点Pから点Cを見たときの角度は$2\theta$である。

点Pの座標(x,y)は、点Cの座標に、円C上の点Pの位置ベクトルを足すことで求められる。

点Pの位置ベクトルは、大きさ1で、偏角が$\theta + \pi + 2\theta = 3\theta + \pi$である。

したがって、点Pの位置ベクトルは$(\cos(3\theta+\pi), \sin(3\theta+\pi)) = (-\cos(3\theta), -\sin(3\theta))$となる。

よって、点Pの座標(x,y)は

$x = 3\cos\theta - \cos(3\theta)$

$y = 3\sin\theta - \sin(3\theta)$

3. 最終的な答え

$x = 3\cos\theta - \cos(3\theta)$

$y = 3\sin\theta - \sin(3\theta)$