原点Oを中心とする半径2の円Oの外側を、半径1の円Cが円Oに外接しながら滑ることなく転がるとき、円C上の点Pの軌跡を考える。ただし、点Pの初期位置をA(2, 0)とする。円Cの中心CがOのまわりを$\theta (0 < \theta < \frac{\pi}{2})$だけ回転したときの点Pの座標(x, y)を$\theta$で表す。

1. 問題の内容

原点Oを中心とする半径2の円Oの外側を、半径1の円Cが円Oに外接しながら滑ることなく転がるとき、円C上の点Pの軌跡を考える。ただし、点Pの初期位置をA(2, 0)とする。円Cの中心CがOのまわりを$\theta (0 < \theta < \frac{\pi}{2})$だけ回転したときの点Pの座標(x, y)を$\theta$で表す。

2. 解き方の手順

まず、円Cの中心Cの座標を求める。円Oの半径が2で、円Cの半径が1なので、OC = 2 + 1 = 3。

円Cの中心Cは、原点Oを中心として角度$\theta$だけ回転しているので、Cの座標は(3cos$\theta$, 3sin$\theta$)となる。

次に、円Cが円Oに外接しながら転がるので、円Cは中心角$3\theta$だけ回転する（円Oの円周は$4\pi$、円Cの円周は$2\pi$なので、円Cは円Oの周りを1周する間に2周する。したがって、円Cの中心角$\theta$に対して、円C上の点は$3\theta$回転する）。

点Pは、円Cの中心Cから、初期位置から$3\theta$回転した位置にある。

よって、点Pの座標(x, y)は以下のようになる。

$x = 3cos\theta + cos(\theta + \pi + 3\theta) = 3cos\theta + cos(4\theta + \pi) = 3cos\theta - cos4\theta$

$y = 3sin\theta + sin(\theta + \pi + 3\theta) = 3sin\theta + sin(4\theta + \pi) = 3sin\theta - sin4\theta$

3. 最終的な答え

$x = 3cos\theta - cos4\theta$

$y = 3sin\theta - sin4\theta$