原点Oを中心とする半径2の円Oの外側を、半径1の円Cが円Oに外接しながら滑ることなく転がるとき、円C上の点Pの軌跡を考えます。ただし、点Pの最初の位置をA(2,0)とします。円Cの中心CがOのまわりを$\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$)だけ回転したときの点Pの座標$(x, y)$を$\theta$で表してください。

1. 問題の内容

原点Oを中心とする半径2の円Oの外側を、半径1の円Cが円Oに外接しながら滑ることなく転がるとき、円C上の点Pの軌跡を考えます。ただし、点Pの最初の位置をA(2,0)とします。円Cの中心CがOのまわりを$\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$)だけ回転したときの点Pの座標$(x, y)$を$\theta$で表してください。

2. 解き方の手順

まず、円Cの中心Cの座標を求めます。円Oの半径が2で、円Cの半径が1なので、OCの長さは3となります。中心Cは原点Oの周りを角度$\theta$だけ回転しているので、Cの座標は$(3\cos\theta, 3\sin\theta)$と表されます。

次に、円Cが円Oの周りを回転する際に、円C上の点Pがどれだけ回転するかを考えます。円Cが円Oに沿って転がる距離は、円Oの中心角$\theta$に対応する弧の長さに等しく、これは$2\theta$となります。円Cの半径が1なので、円C自身の回転角は$2\theta$となります。ただし、Pは最初はA(2,0)の位置にあり、円Cが回転すると、Pは円Cの中心から見て逆方向に回転します。

したがって、点Pの位置ベクトルは、円Cの中心Cの位置ベクトルに、円Cの中心から見た点Pの位置ベクトルを加えることで求められます。点Pは最初は円Cの中心から見て$x$軸正の方向に1だけ離れた場所にありました。

円Cが$2\theta$だけ回転した後、点Pは円Cの中心から見て角度$-(2\theta - \pi)$の位置にあります。したがって、円Cの中心から見た点Pの位置ベクトルは$(\cos(2\theta - \pi), \sin(2\theta - \pi))$ となります。

$\cos(2\theta - \pi) = -\cos(2\theta)$、$\sin(2\theta - \pi) = -\sin(2\theta)$なので、点Pの位置ベクトルは、

$(3\cos\theta - \cos(2\theta), 3\sin\theta - \sin(2\theta))$と表されます。

したがって、点Pの座標$(x, y)$は、

$x = 3\cos\theta - \cos(2\theta)$

$y = 3\sin\theta - \sin(2\theta)$

3. 最終的な答え

$x = 3\cos\theta - \cos(2\theta)$

$y = 3\sin\theta - \sin(2\theta)$