$\triangle ABC$ において、$\frac{\sin A}{5} = \frac{\sin B}{16} = \frac{\sin C}{19}$ が成り立つとき、最も大きい角の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$\frac{\sin A}{5} = \frac{\sin B}{16} = \frac{\sin C}{19}$ が成り立つとき、最も大きい角の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ が成り立つ。

したがって、$a:b:c = 5:16:19$ である。

$a=5k$, $b=16k$, $c=19k$ (k>0) とおくことができる。

最も大きい角は $C$ であるから、余弦定理より

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

$\cos C = \frac{(5k)^2 + (16k)^2 - (19k)^2}{2 \cdot 5k \cdot 16k} = \frac{25k^2 + 256k^2 - 361k^2}{160k^2} = \frac{-80k^2}{160k^2} = -\frac{1}{2}$

したがって、$C = 120^\circ$

3. 最終的な答え

$120^\circ$