以下の平面の方程式を求めます。 (1) 平面 $4x + 3y - z = 4$ に平行で、点 $(1, -1, 0)$ を通る平面 (2) 原点から下ろした垂線との交点が $(1, 2, 3)$ である平面 (3) ベクトル $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$ に垂直で、点 $(1, 2, 3)$ からの距離が $1$ である平面 (4) $xy$ 平面に垂直で、2点 $(1, 2, 0), (0, 3, 4)$ を通る平面

はい、承知いたしました。与えられた問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の平面の方程式を求めます。

(1) 平面 $4x + 3y - z = 4$ に平行で、点 $(1, -1, 0)$ を通る平面

(2) 原点から下ろした垂線との交点が $(1, 2, 3)$ である平面

(3) ベクトル $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$ に垂直で、点 $(1, 2, 3)$ からの距離が $1$ である平面

(4) $xy$ 平面に垂直で、2点 $(1, 2, 0), (0, 3, 4)$ を通る平面

2. 解き方の手順

(1) 平面 $4x + 3y - z = 4$ に平行な平面の方程式は、$4x + 3y - z = d$ と表せます。この平面が点 $(1, -1, 0)$ を通るので、

$4(1) + 3(-1) - (0) = d$ より $d = 1$。したがって、平面の方程式は $4x + 3y - z = 1$ となります。

(2) 原点から平面に下ろした垂線の足が $(1, 2, 3)$ であるので、この平面の法線ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ となります。したがって、平面の方程式は $1(x - 1) + 2(y - 2) + 3(z - 3) = 0$ と表せます。整理すると、$x - 1 + 2y - 4 + 3z - 9 = 0$ より、$x + 2y + 3z = 14$ となります。

(3) ベクトル $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$ に垂直な平面の方程式は $2x - y - 2z = d$ と表せます。

点 $(1, 2, 3)$ からこの平面までの距離が1であるので、点と平面の距離の公式より

$\frac{|2(1) - (2) - 2(3) - d|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} = 1$

$\frac{|2 - 2 - 6 - d|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = 1$

$\frac{|-6 - d|}{3} = 1$

$|-6 - d| = 3$

$-6 - d = 3$ または $-6 - d = -3$

$d = -9$ または $d = -3$

したがって、平面の方程式は $2x - y - 2z = -9$ または $2x - y - 2z = -3$ となります。

(4) $xy$ 平面に垂直な平面は $z$ 軸に平行な法線ベクトルを持ちます。平面は2点 $(1, 2, 0)$ と $(0, 3, 4)$ を通るので、この平面の方程式は $ax + by = c$ の形をしています。

$(1, 2)$ を通ることから、$a + 2b = c$。

$(0, 3)$ を通ることから、$0a + 3b = c$。つまり、$3b = c$。

$a + 2b = 3b$ より、$a = b$。

$ax + ay = 3a$ と表せます。$a$ で割って、$x + y = 3$。

したがって、平面の方程式は $x + y = 3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $4x + 3y - z = 1$

(2) $x + 2y + 3z = 14$

(3) $2x - y - 2z = -9$ または $2x - y - 2z = -3$

(4) $x + y = 3$