与えられた極限を計算します。 $\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n$

2. 解き方の手順

まず、$y = \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)^n$ とおき、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = n \ln \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$

ここで、$n\to\infty$ のときの $\ln y$ の極限を計算します。$\frac{1}{n^2}$ は $n \to \infty$ で $0$ に収束するので、$\ln(1-x)$ の $x=0$ 近傍での Taylor 展開を利用します。

$\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots$

したがって、

$\ln\left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = -\frac{1}{n^2} - \frac{1}{2n^4} - \frac{1}{3n^6} - \dots$

$\ln y = n \left(-\frac{1}{n^2} - \frac{1}{2n^4} - \frac{1}{3n^6} - \dots\right) = -\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^3} - \frac{1}{3n^5} - \dots$

$n \to \infty$ のとき、$\ln y \to 0$ です。

$\lim_{n\to\infty} \ln y = 0$

したがって、$y$ の極限は

$\lim_{n\to\infty} y = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

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