この問題は、4つの独立した問題から構成されています。 (1) 24チームで行うサッカーの試合の試合数を比較する問題。 (2) 白と黒の碁石から4個選び、並べる方法の数を求める問題。 (3) MIYAGIという文字列の6文字を並べる方法の数を求める問題。 (4) 1から7までの数字が書かれたカードから5枚選び、並べる方法の数を求める問題。

1. 問題の内容

この問題は、4つの独立した問題から構成されています。

(1) 24チームで行うサッカーの試合の試合数を比較する問題。

(2) 白と黒の碁石から4個選び、並べる方法の数を求める問題。

(3) MIYAGIという文字列の6文字を並べる方法の数を求める問題。

(4) 1から7までの数字が書かれたカードから5枚選び、並べる方法の数を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

24チームを4チームずつのリーグに分けると、6つのリーグができます。各リーグで1位のチームのみが決勝トーナメントに進む場合、各リーグでの試合数は $_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ 試合なので、予選リーグ全体では $6 \times 6 = 36$ 試合。決勝トーナメントの試合数は、6チームから1チームが決まるまでの試合数なので5試合。合計で$36 + 5 = 41$試合。

24チームを3チームずつのリーグに分けると、8つのリーグができます。各リーグで1位と2位のチームが決勝トーナメントに進む場合、各リーグでの試合数は $_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2} = 3$ 試合なので、予選リーグ全体では $8 \times 3 = 24$ 試合。決勝トーナメントの試合数は、16チームから1チームが決まるまでの試合数なので15試合。合計で$24 + 15 = 39$試合。

試合数の差は $41 - 39 = 2$ 試合。

(2)

白い碁石が4個、黒い碁石が3個あります。この中から4個の碁石を取り出して一列に並べる方法の数を求めます。

取り出し方は、

- 白4個、黒0個の場合: 1通り

- 白3個、黒1個の場合: $\frac{4!}{3!1!} = 4$ 通り

- 白2個、黒2個の場合: $\frac{4!}{2!2!} = 6$ 通り

- 白1個、黒3個の場合: $\frac{4!}{1!3!} = 4$ 通り

合計 $1 + 4 + 6 + 4 = 15$ 通り

したがって、並べ方は15通り。

(3)

MIYAGIの6文字を1列に並べる方法の数を求めます。

MIYAGIの文字には、Iが2つあります。他の文字は1つずつです。

したがって、並べ方の総数は、

$\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$通り。

(4)

1から7の数字が書いてあるカードから5枚を選んで1列に並べる方法の数を求めます。

これは、7つの数字から5つを選んで並べる順列の問題です。

$_7P_5 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) イ 2試合

(2) ア 15通り

(3) イ 360通り

(4) エ 2520通り