1個のサイコロを5回続けて投げるとき、以下の確率を求めます。 (1) 偶数の目が4回以上出る確率 (2) 5回目に3度目の6が出る確率

1. 問題の内容

1個のサイコロを5回続けて投げるとき、以下の確率を求めます。

(1) 偶数の目が4回以上出る確率

(2) 5回目に3度目の6が出る確率

2. 解き方の手順

(1) 偶数の目が4回以上出る確率

偶数の目が出る確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ です。

5回中4回偶数が出る確率と、5回中5回偶数が出る確率をそれぞれ計算し、足し合わせます。

5回中4回偶数が出る確率は、二項分布を用いて計算できます。

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{}_5 C_4 \left(\frac{1}{2}\right)^4 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 5 \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{5}{32}

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5回中5回偶数が出る確率は、

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{}_5 C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1 \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}

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したがって、偶数の目が4回以上出る確率は、

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\frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}

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(2) 5回目に3度目の6が出る確率

5回目に3度目の6が出るためには、4回目までに6が2回出ていて、5回目に6が出なければなりません。

6が出る確率は $\frac{1}{6}$、6が出ない確率は $\frac{5}{6}$ です。

4回までに6が2回出る確率は、二項分布を用いて計算できます。

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{}_4 C_2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}

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5回目に6が出る確率は $\frac{1}{6}$ なので、求める確率は、

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\frac{25}{216} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{1296}

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{16}$

(2) $\frac{25}{1296}$