問題2は、一次元運動する質量 $m$ の物体に働く力が時間 $t$ の関数として与えられたとき、時刻 $t$ における速度と位置を求め、さらに初期条件 $t=0$ で $x=h$, $v=0$ の場合の解を求める問題です。具体的には、(1) 力が $F(t) = At$ ($A$ は定数) の場合と、(2) 力が $F(t) = -mg$ の場合を扱います。 問題3は、質量 $m$ の物体を高さ $x = h$ のところから自由落下させたとき、時刻 $t$ における速度と位置を求める問題です。初期条件は $t = 0$ で $x=h$, $v=0$ です。運動方程式を立てて解きます。

## 問題の回答

1. 問題の内容

問題2は、一次元運動する質量 $m$ の物体に働く力が時間 $t$ の関数として与えられたとき、時刻 $t$ における速度と位置を求め、さらに初期条件 $t=0$ で $x=h$, $v=0$ の場合の解を求める問題です。具体的には、(1) 力が $F(t) = At$ ($A$ は定数) の場合と、(2) 力が $F(t) = -mg$ の場合を扱います。

問題3は、質量 $m$ の物体を高さ $x = h$ のところから自由落下させたとき、時刻 $t$ における速度と位置を求める問題です。初期条件は $t = 0$ で $x=h$, $v=0$ です。運動方程式を立てて解きます。

2. 解き方の手順

**問題2 (1) F(t) = At の場合**

* 運動方程式：$ma = F(t)$ より、$ma = At$ となります。

* 加速度：$a = \frac{At}{m}$

* 速度：加速度を時間で積分して速度を求めます。

$v = \int a dt = \int \frac{At}{m} dt = \frac{A}{2m}t^2 + C_1$

初期条件 $t = 0$ で $v = 0$ より、$C_1 = 0$。したがって、

$v = \frac{A}{2m}t^2$

* 位置：速度を時間で積分して位置を求めます。

$x = \int v dt = \int \frac{A}{2m}t^2 dt = \frac{A}{6m}t^3 + C_2$

初期条件 $t = 0$ で $x = h$ より、$C_2 = h$。したがって、

$x = \frac{A}{6m}t^3 + h$

**問題2 (2) F(t) = -mg の場合**

* 運動方程式：$ma = F(t)$ より、$ma = -mg$ となります。

* 加速度：$a = -g$

* 速度：加速度を時間で積分して速度を求めます。

$v = \int a dt = \int -g dt = -gt + C_1$

初期条件 $t = 0$ で $v = 0$ より、$C_1 = 0$。したがって、

$v = -gt$

* 位置：速度を時間で積分して位置を求めます。

$x = \int v dt = \int -gt dt = -\frac{1}{2}gt^2 + C_2$

初期条件 $t = 0$ で $x = h$ より、$C_2 = h$。したがって、

$x = -\frac{1}{2}gt^2 + h$

**問題3 自由落下の場合**

問題2(2)と同じ設定なので、運動方程式は $ma = -mg$ となります。したがって、加速度 $a = -g$ となります。初期条件は $t = 0$ で $x = h$, $v = 0$ です。

* 運動方程式：$ma = -mg$

* 速度：加速度を時間で積分して速度を求めます。

$v = \int a dt = \int -g dt = -gt + C_1$

初期条件 $t = 0$ で $v = 0$ より、$C_1 = 0$。したがって、

$v = -gt$

* 位置：速度を時間で積分して位置を求めます。

$x = \int v dt = \int -gt dt = -\frac{1}{2}gt^2 + C_2$

初期条件 $t = 0$ で $x = h$ より、$C_2 = h$。したがって、

$x = -\frac{1}{2}gt^2 + h$

3. 最終的な答え

**問題2 (1) F(t) = At の場合**

* 時刻 $t$ における速度: $v = \frac{A}{2m}t^2$

* 時刻 $t$ における位置: $x = \frac{A}{6m}t^3 + h$

* $t=0$ で $x=h, v=0$ のときの速度: $v = 0$

* $t=0$ で $x=h, v=0$ のときの位置: $x = h$

**問題2 (2) F(t) = -mg の場合**

* 時刻 $t$ における速度: $v = -gt$

* 時刻 $t$ における位置: $x = -\frac{1}{2}gt^2 + h$

* $t=0$ で $x=h, v=0$ のときの速度: $v = 0$

* $t=0$ で $x=h, v=0$ のときの位置: $x = h$

**問題3 自由落下の場合**

* 運動方程式： $ma = -mg$

* 速度： $v = -gt$

* 位置： $x = -\frac{1}{2}gt^2 + h$