AとBが試合を行い、先に2勝した方が優勝とする。各試合でAがBに勝つ確率は $\frac{2}{3}$ である。 (1) Aが優勝する確率を求める。 (2) Aが優勝したという条件のもとで、2回目にBが勝つ確率を求める。

1. 問題の内容

AとBが試合を行い、先に2勝した方が優勝とする。各試合でAがBに勝つ確率は $\frac{2}{3}$ である。

(1) Aが優勝する確率を求める。

(2) Aが優勝したという条件のもとで、2回目にBが勝つ確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) Aが優勝する場合を考える。

(a) Aが2連勝する場合：確率は $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

(b) Aが1勝1敗の後、Aが勝つ場合：確率は $(\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{3}) \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$

したがって、Aが優勝する確率は $\frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{12+8}{27} = \frac{20}{27}$

(2) Aが優勝したという条件のもとで、2回目にBが勝つ確率を求める。

2回目にBが勝ってAが優勝する場合：

(a) 1回目にAが勝ち、2回目にBが勝ち、3回目にAが勝つ場合：確率は $\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{27}$

(b) 1回目にBが勝ち、2回目にBが勝ち、これはありえない。

したがって、2回目にBが勝ってAが優勝する確率は $\frac{4}{27}$

Aが優勝する確率は $\frac{20}{27}$ なので、条件付き確率は

$\frac{\frac{4}{27}}{\frac{20}{27}} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

Aが優勝する確率は $\frac{20}{27}$

Aが優勝したという条件のもとで、2回目にBが勝つ確率は $\frac{1}{5}$