次の条件を満たす2次関数を求めます。 (1) 頂点が$(2, -3)$で、点$(1, -1)$を通る。 (2) 頂点が$(2, -1)$で、点$(0, 3)$を通る。

1. 問題の内容

次の条件を満たす2次関数を求めます。

(1) 頂点が$(2, -3)$で、点$(1, -1)$を通る。

(2) 頂点が$(2, -1)$で、点$(0, 3)$を通る。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が$(2, -3)$であることから、求める2次関数は

$y = a(x - 2)^2 - 3$

と表すことができます。この関数が点$(1, -1)$を通るので、

$-1 = a(1 - 2)^2 - 3$

$-1 = a(-1)^2 - 3$

$-1 = a - 3$

$a = 2$

したがって、求める2次関数は

$y = 2(x - 2)^2 - 3$

$y = 2(x^2 - 4x + 4) - 3$

$y = 2x^2 - 8x + 8 - 3$

$y = 2x^2 - 8x + 5$

(2) 頂点が$(2, -1)$であることから、求める2次関数は

$y = a(x - 2)^2 - 1$

と表すことができます。この関数が点$(0, 3)$を通るので、

$3 = a(0 - 2)^2 - 1$

$3 = a(-2)^2 - 1$

$3 = 4a - 1$

$4a = 4$

$a = 1$

したがって、求める2次関数は

$y = (x - 2)^2 - 1$

$y = x^2 - 4x + 4 - 1$

$y = x^2 - 4x + 3$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 8x + 5$

(2) $y = x^2 - 4x + 3$