この問題は、複数の2次関数に関する様々な問題を扱っています。具体的には、以下の内容が含まれます。 * 条件を満たす2次関数を求める問題（頂点と通る点、または通る3点が与えられた場合） * 2次関数の頂点の座標を求める問題 * 2次関数の最大値または最小値とそのときの $x$ の値を求める問題 * 2次関数と $x$ 軸との共有点の座標を求める問題 * 放物線が2点を通る条件から係数を決定する問題 * 2次関数の最小値が与えられたときに係数を決定する問題 ここでは、問題番号15と16を解きます。

1. 問題の内容

この問題は、複数の2次関数に関する様々な問題を扱っています。具体的には、以下の内容が含まれます。

* 条件を満たす2次関数を求める問題（頂点と通る点、または通る3点が与えられた場合）

* 2次関数の頂点の座標を求める問題

* 2次関数の最大値または最小値とそのときの $x$ の値を求める問題

* 2次関数と $x$ 軸との共有点の座標を求める問題

* 放物線が2点を通る条件から係数を決定する問題

* 2次関数の最小値が与えられたときに係数を決定する問題

ここでは、問題番号15と16を解きます。

2. 解き方の手順

(15) 放物線 $y = x^2 + ax + b$ が2点 $(1, 3)$ と $(3, 7)$ を通るとき、定数 $a, b$ の値を求めます。

まず、与えられた2点の座標を放物線の式に代入します。

* 点 $(1, 3)$ を代入すると、$3 = 1^2 + a(1) + b$ より、$3 = 1 + a + b$

* 点 $(3, 7)$ を代入すると、$7 = 3^2 + a(3) + b$ より、$7 = 9 + 3a + b$

これらの式を整理すると、以下の連立方程式が得られます。

$a + b = 2$

$3a + b = -2$

この連立方程式を解きます。第2式から第1式を引くと、

$2a = -4$

$a = -2$

これを第1式に代入すると、

$-2 + b = 2$

$b = 4$

(16) 2次関数 $y = 2x^2 - 4x + a$ の最小値が $-5$ であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2(x^2 - 2x) + a$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + a$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + a$

この式から、頂点の $y$ 座標は $-2 + a$ であり、これが最小値になります。したがって、

$-2 + a = -5$

$a = -3$

3. 最終的な答え

(15) $a = -2$, $b = 4$

(16) $a = -3$