$a-b-c=5$ および $x-y=-2$ のとき、$ax-bx-cx-ay+by+cy$ の値を求める。

## 6 (1) の問題

1. 問題の内容

$a-b-c=5$ および $x-y=-2$ のとき、$ax-bx-cx-ay+by+cy$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた式を変形し、与えられた条件を代入して計算する。

まず、$ax-bx-cx-ay+by+cy$ を因数分解する。

$ax-bx-cx-ay+by+cy = (a-b-c)x - (a-b-c)y = (a-b-c)(x-y)$

ここで、$a-b-c=5$ および $x-y=-2$ を代入すると、

$(a-b-c)(x-y) = 5 \cdot (-2) = -10$

3. 最終的な答え

-10

## 6 (2) の問題

1. 問題の内容

$xy=4$ および $x^2y - xy^2 + x - y = 10$ のとき、$x^3y - 2x^2y^2 + xy^3$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた式を変形し、与えられた条件を代入して計算する。

$x^3y - 2x^2y^2 + xy^3 = xy(x^2 - 2xy + y^2) = xy(x-y)^2$

次に、$x^2y - xy^2 + x - y = xy(x-y) + (x-y) = (xy+1)(x-y) = 10$

$xy = 4$を代入すると、

$(4+1)(x-y) = 5(x-y) = 10$

よって、 $x-y = 2$

したがって、

$x^3y - 2x^2y^2 + xy^3 = xy(x-y)^2 = 4 \cdot (2)^2 = 4 \cdot 4 = 16$

3. 最終的な答え

16

## 7 の問題

1. 問題の内容

連続する2つの正の整数について、小さい方の整数を5で割ると2余る時、この2つの整数の積を5で割ったときの余りが1であることを証明する。

2. 解き方の手順

小さい方の整数を $5k+2$ （$k$ は整数）と表す。

すると、連続するもう一つの整数は $5k+3$ と表せる。

これらの整数の積は $(5k+2)(5k+3) = 25k^2 + 25k + 6 = 5(5k^2 + 5k + 1) + 1$ となる。

$5k^2+5k+1$は整数なので、$5(5k^2 + 5k + 1) + 1$ を 5 で割ると、余りは 1 である。

3. 最終的な答え

証明終了