与えられた4つの式を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $ax^2 - 5ax - 14a$

まず、$a$でくくります。

$ax^2 - 5ax - 14a = a(x^2 - 5x - 14)$

次に、$x^2 - 5x - 14$を因数分解します。

$x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2)$

したがって、$ax^2 - 5ax - 14a = a(x - 7)(x + 2)$

(2) $x^2 - 3ax + 2a^2 - 2x + 5a - 3$

$x$について整理します。

$x^2 - (3a + 2)x + (2a^2 + 5a - 3)$

$2a^2 + 5a - 3$を因数分解します。

$2a^2 + 5a - 3 = (2a - 1)(a + 3)$

よって、$x^2 - (3a + 2)x + (2a - 1)(a + 3)$を因数分解します。

$(x - (2a - 1))(x - (a + 3)) = (x - 2a + 1)(x - a - 3)$

(3) $9x^2 - 25y^2 + 20y - 4$

$9x^2 - (25y^2 - 20y + 4)$

$9x^2 - (5y - 2)^2$

これは$A^2 - B^2$の形なので、$(A + B)(A - B)$となります。

$(3x + (5y - 2))(3x - (5y - 2)) = (3x + 5y - 2)(3x - 5y + 2)$

(4) $ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 2abc$

展開します。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

$a$について整理します。

$(b + c)a^2 + (b^2 + 2bc + c^2)a + b^2c + bc^2$

$(b + c)a^2 + (b + c)^2 a + bc(b + c)$

$(b + c)(a^2 + (b + c)a + bc)$

$(b + c)(a + b)(a + c)$

$(a + b)(b + c)(c + a)$

3. 最終的な答え

(1) $a(x - 7)(x + 2)$

(2) $(x - 2a + 1)(x - a - 3)$

(3) $(3x + 5y - 2)(3x - 5y + 2)$

(4) $(a + b)(b + c)(c + a)$