(15) 放物線 $y = x^2 + ax + b$ が2点 $(1, 3)$ と $(3, 7)$ を通るとき、定数 $a, b$ の値を求めます。 (16) 2次関数 $y = 2x^2 - 4x + a$ の最小値が $-5$ であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(15) 放物線 $y = x^2 + ax + b$ が2点 $(1, 3)$ と $(3, 7)$ を通るとき、定数 $a, b$ の値を求めます。

(16) 2次関数 $y = 2x^2 - 4x + a$ の最小値が $-5$ であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(15)

放物線 $y = x^2 + ax + b$ が点 $(1, 3)$ を通るので、

$3 = 1^2 + a(1) + b$

$3 = 1 + a + b$

$a + b = 2$ ...(1)

放物線が点 $(3, 7)$ を通るので、

$7 = 3^2 + a(3) + b$

$7 = 9 + 3a + b$

$3a + b = -2$ ...(2)

(2) - (1) より、

$(3a + b) - (a + b) = -2 - 2$

$2a = -4$

$a = -2$

(1) に代入して、

$-2 + b = 2$

$b = 4$

(16)

2次関数 $y = 2x^2 - 4x + a$ を平方完成します。

$y = 2(x^2 - 2x) + a$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + a$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) + a$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + a$

この2次関数の頂点は $(1, -2 + a)$ であり、下に凸であるため、最小値は $-2 + a$ です。

最小値が $-5$ であるので、

$-2 + a = -5$

$a = -3$

3. 最終的な答え

(15) $a = -2, b = 4$

(16) $a = -3$