3点A(3, 2, 1), B(2, 0, -2), C(1, 1, 0) が定める平面ABC上に点P(2, 3, z)があるとき、zの値を求める問題です。

1. 問題の内容

3点A(3, 2, 1), B(2, 0, -2), C(1, 1, 0) が定める平面ABC上に点P(2, 3, z)があるとき、zの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Pが平面ABC上にあるということは、ベクトルAPがベクトルABとベクトルACの線形結合で表せるということです。つまり、実数s, tを用いて、

$\vec{AP} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$

と表せるということです。各ベクトルを成分で表すと、

$\vec{AP} = (2-3, 3-2, z-1) = (-1, 1, z-1)$

$\vec{AB} = (2-3, 0-2, -2-1) = (-1, -2, -3)$

$\vec{AC} = (1-3, 1-2, 0-1) = (-2, -1, -1)$

したがって、

$(-1, 1, z-1) = s(-1, -2, -3) + t(-2, -1, -1)$

成分ごとに比較すると、以下の連立方程式が得られます。

\begin{cases}

-1 = -s - 2t \\

1 = -2s - t \\

z-1 = -3s - t

\end{cases}

最初の2式からsとtを求めます。

第1式より、$s = 1 - 2t$。

これを第2式に代入すると、

$1 = -2(1 - 2t) - t$

$1 = -2 + 4t - t$

$3 = 3t$

$t = 1$

$s = 1 - 2(1) = -1$

sとtの値が求まったので、第3式に代入してzを求めます。

$z - 1 = -3(-1) - (1)$

$z - 1 = 3 - 1$

$z - 1 = 2$

$z = 3$

3. 最終的な答え

z = 3