2x2行列 $A, B$ に対して、以下の等式が正しいかどうか判定する。 (1) $(AB)^2 = A^2B^2$ (2) $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$

1. 問題の内容

2x2行列 $A, B$ に対して、以下の等式が正しいかどうか判定する。

(1) $(AB)^2 = A^2B^2$

(2) $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$

2. 解き方の手順

(1) 行列の積は一般的に可換ではないため、$AB \neq BA$ である。

$(AB)^2 = (AB)(AB) = ABAB$

$A^2B^2 = AABB$

一般的に $ABAB \neq AABB$ であるため、$(AB)^2 = A^2B^2$ は正しくない。

(2)

$(A+B)(A-B) = A(A-B) + B(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2$

もし $AB = BA$ であれば、

$A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2$

しかし、行列の積は一般的に可換ではないため、$AB \neq BA$ である。よって、 $-AB + BA \neq 0$ となる場合がある。

したがって、$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ は正しくない。

3. 最終的な答え

(1) 正しくない

(2) 正しくない