与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ -3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、$DC$, $^tCB$, $DB - A$ を計算する。ここで、$^tCB$は行列 $CB$ の転置行列を表す。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ -3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、$DC$, $^tCB$, $DB - A$ を計算する。ここで、$^tCB$は行列 $CB$ の転置行列を表す。

2. 解き方の手順

まず、$DC$ を計算する。$D$ は $2 \times 3$ 行列、$C$ は $3 \times 1$ 行列なので、$DC$ は $2 \times 1$ 行列になる。

$DC = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(4) + 1(-2) + 0(3) \\ -3(4) + 4(-2) + 2(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 2 + 0 \\ -12 - 8 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -14 \end{pmatrix}$

次に、$CB$ を計算する。$C$ は $3 \times 1$ 行列、$B$ は $3 \times 2$ 行列なので、これらの行列の積は定義されない。問題文の$^tCB$を計算するので、$CB$ではなく、$B$と$C$の順番が逆であると考えられる。$BC$を計算すると、$B$は$3 \times 2$行列、$C$は$3 \times 1$行列なので、これらの行列の積も定義されない。したがって、問題文の$^tCB$は$^t(BC)$でなく、$B$の転置行列と$C$の積である$^tB C$を計算すると考えられる。

$^tB = \begin{pmatrix} 6 & -3 & 2 \\ -1 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

$^tB C = \begin{pmatrix} 6 & -3 & 2 \\ -1 & 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6(4) - 3(-2) + 2(3) \\ -1(4) + 1(-2) + 5(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 + 6 + 6 \\ -4 - 2 + 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 36 \\ 9 \end{pmatrix}$

最後に、$DB - A$ を計算する。$D$ は $2 \times 3$ 行列、$B$ は $3 \times 2$ 行列なので、$DB$ は $2 \times 2$ 行列になる。

$DB = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ -3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(6) + 1(-3) + 0(2) & 2(-1) + 1(1) + 0(5) \\ -3(6) + 4(-3) + 2(2) & -3(-1) + 4(1) + 2(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 - 3 + 0 & -2 + 1 + 0 \\ -18 - 12 + 4 & 3 + 4 + 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -1 \\ -26 & 17 \end{pmatrix}$

$DB - A = \begin{pmatrix} 9 & -1 \\ -26 & 17 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 - 1 & -1 - (-2) \\ -26 - (-3) & 17 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 1 \\ -23 & 16 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$DC = \begin{pmatrix} 6 \\ -14 \end{pmatrix}$

$^tCB = \begin{pmatrix} 36 \\ 9 \end{pmatrix}$

$DB - A = \begin{pmatrix} 8 & 1 \\ -23 & 16 \end{pmatrix}$