曲線 $y = \log x$ と $x$ 軸と直線 $x = e$ で囲まれた図形 $D$ がある。 (1) $D$ の面積を求める。 (2) $D$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積を求める。 (3) $D$ を $y$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = \log x$ と $x$ 軸と直線 $x = e$ で囲まれた図形 $D$ がある。

(1) $D$ の面積を求める。

(2) $D$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積を求める。

(3) $D$ を $y$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $D$ の面積は、$\int_{1}^{e} \log x dx$ で計算できる。部分積分を用いて計算する。

$\int_{1}^{e} \log x dx = [x\log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} dx = [x\log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 dx = [x\log x - x]_{1}^{e} = (e\log e - e) - (1\log 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$

(2) $D$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積は、$\pi \int_{1}^{e} (\log x)^2 dx$ で計算できる。

$\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - 2\int \log x dx = x(\log x)^2 - 2(x\log x - x) = x(\log x)^2 - 2x\log x + 2x$

$\pi \int_{1}^{e} (\log x)^2 dx = \pi [x(\log x)^2 - 2x\log x + 2x]_{1}^{e} = \pi [(e(\log e)^2 - 2e\log e + 2e) - (1(\log 1)^2 - 2(1)\log 1 + 2(1))] = \pi [(e - 2e + 2e) - (0 - 0 + 2)] = \pi (e - 2)$

(3) $D$ を $y$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積は、バウムクーヘン積分を使う。

$V = 2\pi \int_{1}^{e} x \log x dx$

$\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}$

$V = 2\pi \left[\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}\right]_{1}^{e} = 2\pi \left[ (\frac{e^2}{2} \log e - \frac{e^2}{4}) - (\frac{1}{2} \log 1 - \frac{1}{4})\right] = 2\pi \left[ \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4}\right] = 2\pi \left[ \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4}\right] = \frac{\pi}{2} (e^2 + 1)$

別のやり方として、

$x = e^y$, $x=e$のとき$y=1$

$V = \pi e^2 \cdot 1 - \pi \int_{0}^{1} (e^y)^2 dy = \pi e^2 - \pi \int_{0}^{1} e^{2y} dy = \pi e^2 - \pi \left[ \frac{1}{2} e^{2y} \right]_{0}^{1} = \pi e^2 - \frac{\pi}{2} (e^2 - 1) = \frac{\pi}{2} (2e^2 - e^2 + 1) = \frac{\pi}{2} (e^2 + 1)$

画像にある形に合わせると，積分範囲は$x=1$から$x=e$なので，$y=0$から$y=1$となる。

$x = e^y$より、体積は$\pi e^2(1) - \int_0^1 \pi x^2 dy = \pi e^2 - \pi \int_0^1 (e^y)^2 dy = \pi e^2 - \pi \int_0^1 e^{2y} dy$

$= \pi e^2 - \pi [\frac{e^{2y}}{2}]_0^1 = \pi e^2 - \pi (\frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}) = \pi (\frac{e^2}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{\pi}{2}(e^2 + 1)$.

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 2

(3) 2

1