(1) 定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x^2 - 2x - 1}{x+1} dx$ を計算し、$a \log 2 - b$ の形で表す。 (2) 定積分 $\int_{0}^{\pi} |\cos x| dx$ を計算する。 (3) 極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1 + \frac{k}{n}}$ を計算する。 (4) 極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=2n+1}^{3n} e^{\frac{k}{n}}$ を計算する。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x^2 - 2x - 1}{x+1} dx$ を計算し、$a \log 2 - b$ の形で表す。

(2) 定積分 $\int_{0}^{\pi} |\cos x| dx$ を計算する。

(3) 極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1 + \frac{k}{n}}$ を計算する。

(4) 極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=2n+1}^{3n} e^{\frac{k}{n}}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{x^2 - 2x - 1}{x+1}$ を多項式で表すために、分子を分母で割ります。

$x^2 - 2x - 1 = (x+1)(x-3) + 2$

したがって、

$\frac{x^2 - 2x - 1}{x+1} = x - 3 + \frac{2}{x+1}$

$\int_{0}^{1} \frac{x^2 - 2x - 1}{x+1} dx = \int_{0}^{1} (x - 3 + \frac{2}{x+1}) dx$

$= [\frac{x^2}{2} - 3x + 2 \log |x+1|]_0^1$

$= (\frac{1}{2} - 3 + 2 \log 2) - (0 - 0 + 2 \log 1)$

$= -\frac{5}{2} + 2 \log 2$

$= 2 \log 2 - \frac{5}{2}$

(2)

$\int_{0}^{\pi} |\cos x| dx = \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx - \int_{\pi/2}^{\pi} \cos x dx$

$= [\sin x]_0^{\pi/2} - [\sin x]_{\pi/2}^{\pi}$

$= (1 - 0) - (0 - 1)$

$= 1 + 1 = 2$

(3)

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1 + \frac{k}{n}} = \int_{0}^{1} \sqrt{1+x} dx$

$u = 1+x$ とすると、$du = dx$ であり、$x=0$ のとき $u=1$, $x=1$ のとき $u=2$。

$\int_{1}^{2} \sqrt{u} du = [\frac{2}{3} u^{3/2}]_1^2 = \frac{2}{3} (2^{3/2} - 1^{3/2})$

$= \frac{2}{3} (2 \sqrt{2} - 1) = \frac{4 \sqrt{2} - 2}{3}$

(4)

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=2n+1}^{3n} e^{\frac{k}{n}} = \int_{2}^{3} e^x dx = [e^x]_2^3 = e^3 - e^2$

3. 最終的な答え

(1) $2 \log 2 - \frac{5}{2}$

(2) 2

(3) $\frac{4 \sqrt{2} - 2}{3}$

(4) $e^3 - e^2$