(1) 関数 $y = \log \left| \frac{1-x}{1+x} \right|$ を微分した結果を $ \frac{E}{x^2 - F} $ の形で表すとき、$E$と$F$を求める問題。 (2) 関数 $y = a^x$ を微分した結果を $K L \log M$ の形で表すとき、$K$, $L$, $M$を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \log \left| \frac{1-x}{1+x} \right|$ を微分した結果を $\frac{E}{x^2 - F}$ の形で表すとき、$E$と$F$を求める問題。

(2) 関数 $y = a^x$ を微分した結果を $K L \log M$ の形で表すとき、$K$, $L$, $M$を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $y = \log \left| \frac{1-x}{1+x} \right|$ を微分する。

まず、対数の性質を利用して関数を分解する。

$y = \log |1-x| - \log |1+x|$

次に、各項を微分する。

$\frac{d}{dx} \log |1-x| = \frac{-1}{1-x}$

$\frac{d}{dx} \log |1+x| = \frac{1}{1+x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{1-x} - \frac{1}{1+x} = \frac{-(1+x) - (1-x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{-1-x-1+x}{1-x^2} = \frac{-2}{1-x^2} = \frac{2}{x^2-1}$

微分した結果を $\frac{E}{x^2-F}$ の形で表すと、$E = 2$、$F = 1$ となる。

(2) $y = a^x$ を微分する。

$y = a^x$ の両辺の自然対数を取る。

$\log y = \log a^x = x \log a$

両辺を $x$ で微分する。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log a$

$\frac{dy}{dx} = y \log a = a^x \log a$

微分した結果を $K L \log M$ の形で表すと、$K = 1$、$L = a^x$、$M = a$ となる。

3. 最終的な答え

Eは 2

Fは 1

Kは 1

Lは $a^x$

Mは a