平行六面体OABC-DPQRにおいて、三角形ABCの重心をGとする。このとき、3点O, G, Pが一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

平行六面体OABC-DPQRにおいて、三角形ABCの重心をGとする。このとき、3点O, G, Pが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、点Aを基準とした位置ベクトルを用いて、各点の位置ベクトルを表す。

$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$

とすると、平行六面体の性質から

$\vec{OD} = \vec{a} + \vec{b}, \vec{OP} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}, \vec{OQ} = \vec{a} + \vec{c}, \vec{OR} = \vec{b} + \vec{c}$

となる。

重心Gの位置ベクトル$\vec{OG}$は、

$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

$\vec{OP} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3 \cdot \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = 3\vec{OG}$

よって、$\vec{OP} = 3\vec{OG}$ となるため、ベクトル$\vec{OP}$とベクトル$\vec{OG}$は平行である。

また、点Oは共通であるから、3点O, G, Pは一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点O, G, Pは一直線上にある。