複素数 $z$ が $z^6 + i = 0$ を満たすとき、以下の問いに答えます。 (1) $z^6 = -i$ であり、$|-i|=1$ です。$\arg(-i)$ を整数 $n$ を用いて表し、選択肢から選びます。 (2) $z$ の中で、実部と虚部がともに正であるものを求めます。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が $z^6 + i = 0$ を満たすとき、以下の問いに答えます。

(1) $z^6 = -i$ であり、$|-i|=1$ です。$\arg(-i)$ を整数 $n$ を用いて表し、選択肢から選びます。

(2) $z$ の中で、実部と虚部がともに正であるものを求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$z^6 = -i$ であることから、$-i$ の偏角 $\arg(-i)$ を求めます。

$-i$ は複素数平面上で $y$ 軸負の方向を向いており、その偏角は $-\frac{\pi}{2}$ です。一般角で表すと、

$\arg(-i) = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi = (2n - \frac{1}{2})\pi = (2n + \frac{3}{2})\pi - 2\pi = (2n + \frac{3}{2})\pi$

となります。

よって、選択肢④が当てはまります。

(2)

$z^6 = -i$ より、$z = \sqrt[6]{-i}$ です。

$-i$ を極形式で表すと、 $-i = \cos(\frac{3\pi}{2} + 2n\pi) + i\sin(\frac{3\pi}{2} + 2n\pi)$ です。

したがって、

$z = \cos(\frac{\frac{3\pi}{2} + 2n\pi}{6}) + i\sin(\frac{\frac{3\pi}{2} + 2n\pi}{6}) = \cos(\frac{3\pi + 4n\pi}{12}) + i\sin(\frac{3\pi + 4n\pi}{12})$

となります。ここで、$n=0,1,2,3,4,5$ です。

実部と虚部がともに正であるためには、

$0 < \frac{3\pi + 4n\pi}{12} < \frac{\pi}{2}$

$0 < 3\pi + 4n\pi < 6\pi$

$-3\pi < 4n\pi < 3\pi$

$-\frac{3}{4} < n < \frac{3}{4}$

を満たす必要があります。

$n$ は整数なので、$n=0$ となります。

このとき、

$z = \cos(\frac{3\pi}{12}) + i\sin(\frac{3\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

となります。

問題文には、$z$ の中で実部、虚部ともに正であるものは、$\frac{\sqrt{3}}{4} + i \frac{\sqrt{5}}{6}$ であると書かれていますが、$z^6 = -i$ の解とは一致しません。問題文に誤りがあると思われます。

上記より、$n=0$ のときの $z$ の値を求めると、$\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) ④

(2) $\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

問題文に与えられた $\frac{\sqrt{3}}{4} + i\frac{\sqrt{5}}{6}$ は誤りであると思われます。