与えられた9つの対数の値を計算し、簡単にせよ。具体的には、以下の計算を行う。 (1) $\log_5 125$ (2) $\log_4 16$ (3) $\log_{10} 1000$ (4) $\log_8 \frac{1}{64}$ (5) $\log_5 \sqrt{5}$ (6) $\log_3 \frac{1}{\sqrt{3}}$ (7) $\log_7 \sqrt[3]{7^2}$ (8) $\log_{\sqrt{2}} 2$ (9) $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{9}$

1. 問題の内容

与えられた9つの対数の値を計算し、簡単にせよ。具体的には、以下の計算を行う。

(1) $\log_5 125$

(2) $\log_4 16$

(3) $\log_{10} 1000$

(4) $\log_8 \frac{1}{64}$

(5) $\log_5 \sqrt{5}$

(6) $\log_3 \frac{1}{\sqrt{3}}$

(7) $\log_7 \sqrt[3]{7^2}$

(8) $\log_{\sqrt{2}} 2$

(9) $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{9}$

2. 解き方の手順

対数の定義 $y = \log_a x$ は、$a^y = x$ と同値である。この定義を用いて各問題を解く。

(1) $\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$

(2) $\log_4 16 = \log_4 4^2 = 2$

(3) $\log_{10} 1000 = \log_{10} 10^3 = 3$

(4) $\log_8 \frac{1}{64} = \log_8 \frac{1}{8^2} = \log_8 8^{-2} = -2$

(5) $\log_5 \sqrt{5} = \log_5 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

(6) $\log_3 \frac{1}{\sqrt{3}} = \log_3 \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} = \log_3 3^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}$

(7) $\log_7 \sqrt[3]{7^2} = \log_7 (7^2)^{\frac{1}{3}} = \log_7 7^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}$

(8) $\log_{\sqrt{2}} 2 = \log_{2^{\frac{1}{2}}} 2 = \log_{2^{\frac{1}{2}}} (2^{\frac{1}{2}})^2 = 2$

(9) $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{9} = \log_{3^{\frac{1}{2}}} \frac{1}{3^2} = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^{-2} = \log_{3^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}})^{-4} = -4$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 2

(3) 3

(4) -2

(5) $\frac{1}{2}$

(6) $-\frac{1}{2}$

(7) $\frac{2}{3}$

(8) 2

(9) -4