直方体OADB-CEGFにおいて、辺DGのGを越える延長上にDG=GHとなる点Hをとる。直線OHと平面ABCの交点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

直方体OADB-CEGFにおいて、辺DGのGを越える延長上にDG=GHとなる点Hをとる。直線OHと平面ABCの交点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点Hの位置ベクトルを求めます。

$\vec{OH}$を求めましょう。

$\vec{OG} = \vec{OA} + \vec{AD} + \vec{DG} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

$DG = GH$なので、$\vec{OG} = \vec{OA} + \vec{AD} + \vec{DG}$

$\vec{OH} = \vec{OG} + \vec{GH} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}$

次に、点Pは直線OH上にあるので、実数$k$を用いて、

$\vec{OP} = k \vec{OH} = k(\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c})$

と表すことができる。

また、点Pは平面ABC上にあるので、実数$s, t$を用いて、

$\vec{OP} = (1-s-t)\vec{OA} + s\vec{OB} + t\vec{OC} = (1-s-t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$

と表すことができる。

よって、

$k(\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}) = (1-s-t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は一次独立なので、

$k = 1-s-t$

$k = s$

$2k = t$

これを解くと、

$k = 1-k-2k$

$4k = 1$

$k = \frac{1}{4}$

したがって、

$\vec{OP} = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}) = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$