母平均 $\mu = 120$、母標準偏差 $\sigma = 30$ の母集団から、大きさ $n = 100$ の無作為標本を抽出する。 (1) 標本平均 $\overline{X}$ の標準偏差 $\sigma_{\overline{X}}$ を求めよ。 (2) 標本平均 $\overline{X}$ が123より大きい値をとる確率 $P(\overline{X} > 123)$ を求めよ。

1. 問題の内容

母平均 $\mu = 120$、母標準偏差 $\sigma = 30$ の母集団から、大きさ $n = 100$ の無作為標本を抽出する。

(1) 標本平均 $\overline{X}$ の標準偏差 $\sigma_{\overline{X}}$ を求めよ。

(2) 標本平均 $\overline{X}$ が123より大きい値をとる確率 $P(\overline{X} > 123)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均 $\overline{X}$ の標準偏差 $\sigma_{\overline{X}}$ は、母標準偏差 $\sigma$ と標本サイズ $n$ を用いて、

$\sigma_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

で求められる。

したがって、$\sigma_{\overline{X}} = \frac{30}{\sqrt{100}} = \frac{30}{10} = 3$。

(2) 標本平均 $\overline{X}$ は近似的に正規分布 $N(\mu, \sigma_{\overline{X}}^2)$ に従う。

$\overline{X} \sim N(120, 3^2)$

$\overline{X}$ を標準化するために、Z値を計算する。

$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma_{\overline{X}}}$

$\overline{X} = 123$ のとき、

$Z = \frac{123 - 120}{3} = \frac{3}{3} = 1$

したがって、$P(\overline{X} > 123) = P(Z > 1)$。

正規分布表を参照すると、$P(Z > 1) = 1 - P(Z \leq 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 標本平均 $\overline{X}$ の標準偏差は3である。

(2) 標本平均 $\overline{X}$ が123より大きい値をとる確率は0.1587である。