実質金利 $r = 0.25$ に直面する企業が利潤を最大化する問題を考えます。企業の異時点間の生産関数が $Y_2 = F(I_1) = 1.5 \ln(I_1 + 1)$ で与えられているとき、最適な設備投資 $I_1$ はいくらになるかを求める問題です。

1. 問題の内容

実質金利 $r = 0.25$ に直面する企業が利潤を最大化する問題を考えます。企業の異時点間の生産関数が $Y_2 = F(I_1) = 1.5 \ln(I_1 + 1)$ で与えられているとき、最適な設備投資 $I_1$ はいくらになるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

利潤最大化問題を解くためには、まず利潤を定義する必要があります。ここでは、2時点間の問題を考えており、時点1で設備投資を行い、時点2で生産が行われると仮定します。

時点1の投資額は $I_1$ であり、時点2の生産量は $Y_2 = 1.5 \ln(I_1 + 1)$ で与えられます。

時点2の生産物の価格を1とすると、時点2の収入は $Y_2$ となります。

利潤は、時点2の収入を現在価値に割り引いたものから、時点1の投資額を引いたものとして定義できます。割引率は実質金利 $r$ を使って $1/(1+r)$ となります。

したがって、利潤 $\pi$ は次のように表されます。

$\pi = \frac{Y_2}{1+r} - I_1 = \frac{1.5 \ln(I_1 + 1)}{1+r} - I_1$

利潤を最大化するために、$I_1$ について利潤 $\pi$ を微分し、それを0とおきます。

$\frac{d\pi}{dI_1} = \frac{1.5}{1+r} \cdot \frac{1}{I_1 + 1} - 1 = 0$

この式を $I_1$ について解きます。

$\frac{1.5}{(1+r)(I_1 + 1)} = 1$

$1.5 = (1+r)(I_1 + 1)$

$I_1 + 1 = \frac{1.5}{1+r}$

$I_1 = \frac{1.5}{1+r} - 1$

問題文より $r = 0.25$ であるので、これを代入します。

$I_1 = \frac{1.5}{1+0.25} - 1 = \frac{1.5}{1.25} - 1 = \frac{1.5}{\frac{5}{4}} - 1 = 1.5 \cdot \frac{4}{5} - 1 = \frac{6}{5} - 1 = \frac{1}{5} = 0.2$

したがって、最適な設備投資 $I_1$ は 0.2 となります。

3. 最終的な答え

最適な設備投資は0.2です。