2点$(0, 3)$と$(0, -3)$を焦点とし、焦点からの距離の和が10である楕円の方程式を求める。

1. 問題の内容

2点$(0, 3)$と$(0, -3)$を焦点とし、焦点からの距離の和が10である楕円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

楕円上の点を$(x, y)$とする。焦点からの距離の和は10なので、

$\sqrt{(x-0)^2 + (y-3)^2} + \sqrt{(x-0)^2 + (y+3)^2} = 10$

$\sqrt{x^2 + (y-3)^2} + \sqrt{x^2 + (y+3)^2} = 10$

$\sqrt{x^2 + (y-3)^2} = 10 - \sqrt{x^2 + (y+3)^2}$

両辺を2乗する。

$x^2 + (y-3)^2 = 100 - 20\sqrt{x^2 + (y+3)^2} + x^2 + (y+3)^2$

$x^2 + y^2 - 6y + 9 = 100 - 20\sqrt{x^2 + (y+3)^2} + x^2 + y^2 + 6y + 9$

$-6y = 100 - 20\sqrt{x^2 + (y+3)^2} + 6y$

$20\sqrt{x^2 + (y+3)^2} = 100 + 12y$

$5\sqrt{x^2 + (y+3)^2} = 25 + 3y$

両辺を2乗する。

$25(x^2 + (y+3)^2) = (25 + 3y)^2$

$25(x^2 + y^2 + 6y + 9) = 625 + 150y + 9y^2$

$25x^2 + 25y^2 + 150y + 225 = 625 + 150y + 9y^2$

$25x^2 + 16y^2 = 400$

両辺を400で割る。

$\frac{25x^2}{400} + \frac{16y^2}{400} = 1$

$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$