複素数平面上の3点 $A(\alpha), B(\beta), C(\gamma)$ を頂点とする $\triangle ABC$ について、等式 $\gamma = (1+\sqrt{3}i)\beta - \sqrt{3}i\alpha$ が成り立つとき、以下のものを求めます。 (1) 複素数 $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の値 (2) $\triangle ABC$ の3つの角の大きさ

はい、承知いたしました。それでは、問題を解いていきます。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点 $A(\alpha), B(\beta), C(\gamma)$ を頂点とする $\triangle ABC$ について、等式 $\gamma = (1+\sqrt{3}i)\beta - \sqrt{3}i\alpha$ が成り立つとき、以下のものを求めます。

(1) 複素数 $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の値

(2) $\triangle ABC$ の3つの角の大きさ

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の値を求めます。

与えられた等式 $\gamma = (1+\sqrt{3}i)\beta - \sqrt{3}i\alpha$ から $\gamma - \alpha$ を求めます。

$\gamma - \alpha = (1+\sqrt{3}i)\beta - \sqrt{3}i\alpha - \alpha = (1+\sqrt{3}i)\beta - (1+\sqrt{3}i)\alpha = (1+\sqrt{3}i)(\beta - \alpha)$

したがって、

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = 1+\sqrt{3}i$

(2) $\triangle ABC$ の3つの角の大きさを求めます。

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の絶対値と偏角を求めます。

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = 1+\sqrt{3}i$ より、

$\left| \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} \right| = |1+\sqrt{3}i| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

$\arg \left( \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} \right) = \arg (1+\sqrt{3}i) = \frac{\pi}{3}$

$AB = |\beta - \alpha|$

$AC = |\gamma - \alpha| = 2|\beta - \alpha|$

$BC = |\gamma - \beta|$

$\angle BAC = \arg \left( \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} \right) = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

$AC = 2AB$

$\gamma - \beta = (1+\sqrt{3}i)\beta - \sqrt{3}i\alpha - \beta = \sqrt{3}i(\beta - \alpha)$

$|\gamma - \beta| = |\sqrt{3}i(\beta - \alpha)| = \sqrt{3}|\beta - \alpha|$

したがって、$BC = \sqrt{3}AB$

$AB:BC:CA = AB:\sqrt{3}AB:2AB = 1:\sqrt{3}:2$

これは、$30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ の直角三角形なので、

$\angle ABC = 90^\circ$

$\angle BCA = 30^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = 1+\sqrt{3}i$

(2) $\angle BAC = 60^\circ, \angle ABC = 90^\circ, \angle BCA = 30^\circ$