与えられた極限を計算します。 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos(n\pi)$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos(n\pi)$

2. 解き方の手順

$\cos(n\pi)$ の値は $n$ が整数のとき、1 または -1 のいずれかです。

具体的には、

$n$ が偶数のとき $\cos(n\pi) = 1$

$n$ が奇数のとき $\cos(n\pi) = -1$

したがって、$\cos(n\pi)$ は $-1 \le \cos(n\pi) \le 1$ の範囲の値をとります。

$\frac{1}{n} \cos(n\pi)$ の絶対値は $\frac{1}{n}$ 以下となります。

$|\frac{1}{n} \cos(n\pi)| = \frac{1}{n} |\cos(n\pi)| \le \frac{1}{n}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ となります。

したがって、はさみうちの原理より、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos(n\pi) = 0$

3. 最終的な答え

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