与えられた極限を計算します。 $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n+1})^n$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n+1})^n$

2. 解き方の手順

まず、$1-\frac{1}{n+1}$を計算します。

$1-\frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

したがって、求める極限は

$\lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n+1})^n$

これは、$1^\infty$の不定形です。

$(\frac{n}{n+1})^n = (\frac{n+1}{n})^{-n} = (1+\frac{1}{n})^{-n}$

ここで、$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$であることを利用すると、

$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^{-n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}) = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$