点F(4, 0)からの距離と、直線x = 1からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

点F(4, 0)からの距離と、直線x = 1からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Pの座標を(x, y)とします。

点F(4, 0)からの距離を$d_1$、直線x = 1からの距離を$d_2$とすると、問題文より$d_1:d_2 = 1:2$となります。

つまり、$2d_1 = d_2$という関係が成り立ちます。

まず、$d_1$と$d_2$をそれぞれ計算します。

$d_1 = \sqrt{(x-4)^2 + y^2}$

$d_2 = |x-1|$

これを$2d_1 = d_2$に代入すると、

$2\sqrt{(x-4)^2 + y^2} = |x-1|$

両辺を2乗すると、

$4((x-4)^2 + y^2) = (x-1)^2$

$4(x^2 - 8x + 16 + y^2) = x^2 - 2x + 1$

$4x^2 - 32x + 64 + 4y^2 = x^2 - 2x + 1$

$3x^2 - 30x + 4y^2 + 63 = 0$

$3(x^2 - 10x) + 4y^2 + 63 = 0$

$3(x^2 - 10x + 25) - 75 + 4y^2 + 63 = 0$

$3(x-5)^2 + 4y^2 - 12 = 0$

$3(x-5)^2 + 4y^2 = 12$

両辺を12で割ると、

$\frac{(x-5)^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$

3. 最終的な答え

求める軌跡は、楕円$\frac{(x-5)^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$である。