点 C(0, 3) から楕円 $x^2 + 2y^2 = 2$ に引いた接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

点 C(0, 3) から楕円 $x^2 + 2y^2 = 2$ に引いた接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

接線の方程式を求める。

接点を $(x_1, y_1)$ とおく。

楕円 $x^2 + 2y^2 = 2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、

$x_1x + 2y_1y = 2$

この接線が点 (0, 3) を通るので、

$x_1 \cdot 0 + 2y_1 \cdot 3 = 2$

$6y_1 = 2$

$y_1 = \frac{1}{3}$

また、点 $(x_1, y_1)$ は楕円上の点であるから、

$x_1^2 + 2y_1^2 = 2$

$x_1^2 + 2(\frac{1}{3})^2 = 2$

$x_1^2 + \frac{2}{9} = 2$

$x_1^2 = 2 - \frac{2}{9} = \frac{18}{9} - \frac{2}{9} = \frac{16}{9}$

$x_1 = \pm \frac{4}{3}$

したがって、接点は $(\frac{4}{3}, \frac{1}{3})$ または $(-\frac{4}{3}, \frac{1}{3})$

接線の方程式は、

$\frac{4}{3}x + 2(\frac{1}{3})y = 2$ または $-\frac{4}{3}x + 2(\frac{1}{3})y = 2$

$\frac{4}{3}x + \frac{2}{3}y = 2$ または $-\frac{4}{3}x + \frac{2}{3}y = 2$

両辺に $\frac{3}{2}$ をかけると、

$2x + y = 3$ または $-2x + y = 3$

$y = -2x + 3$ または $y = 2x + 3$

3. 最終的な答え

$y = 2x + 3$

$y = -2x + 3$