三角形ABCにおいて、頂点A, B, Cの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$で与えられている。辺BCを2:3に内分する点をD、辺BCを1:2に外分する点をEとする。三角形ABCの重心をG、三角形AEDの重心をG'とする。 (1) 点D, E, G'の位置ベクトルを$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。 (2) ベクトル$\vec{GG'}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、頂点A, B, Cの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$で与えられている。辺BCを2:3に内分する点をD、辺BCを1:2に外分する点をEとする。三角形ABCの重心をG、三角形AEDの重心をG'とする。

(1) 点D, E, G'の位置ベクトルを$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。

(2) ベクトル$\vec{GG'}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

* 点Dの位置ベクトル$\vec{d}$は、線分BCを2:3に内分するので、内分公式より

$\vec{d} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{2+3} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{5}$

* 点Eの位置ベクトル$\vec{e}$は、線分BCを1:2に外分するので、外分公式より

$\vec{e} = \frac{-2\vec{b} + \vec{c}}{1-2} = \frac{-2\vec{b} + \vec{c}}{-1} = 2\vec{b} - \vec{c}$

* 点G'の位置ベクトル$\vec{g'}$は、三角形AEDの重心なので、重心の公式より

$\vec{g'} = \frac{\vec{a} + \vec{d} + \vec{e}}{3} = \frac{\vec{a} + \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{5} + 2\vec{b} - \vec{c}}{3} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \frac{3\vec{b}}{5} + \frac{2\vec{c}}{5} + \frac{10\vec{b}}{5} - \frac{5\vec{c}}{5}) = \frac{1}{3}(\vec{a} + \frac{13}{5}\vec{b} - \frac{3}{5}\vec{c}) = \frac{5\vec{a} + 13\vec{b} - 3\vec{c}}{15}$

(2)

* 点Gの位置ベクトル$\vec{g}$は、三角形ABCの重心なので、重心の公式より

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

* $\vec{GG'} = \vec{g'} - \vec{g} = \frac{5\vec{a} + 13\vec{b} - 3\vec{c}}{15} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{5\vec{a} + 13\vec{b} - 3\vec{c}}{15} - \frac{5\vec{a} + 5\vec{b} + 5\vec{c}}{15} = \frac{8\vec{b} - 8\vec{c}}{15} = \frac{8(\vec{b} - \vec{c})}{15}$

3. 最終的な答え

(1)

$\vec{d} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{5}$

$\vec{e} = 2\vec{b} - \vec{c}$

$\vec{g'} = \frac{5\vec{a} + 13\vec{b} - 3\vec{c}}{15}$

(2)

$\vec{GG'} = \frac{8(\vec{b} - \vec{c})}{15}$