$\triangle ABC$ において、頂点 $A, B, C$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ とする。辺 $BC$ を $2:3$ に内分する点を $D$、辺 $BC$ を $1:2$ に外分する点を $E$、$\triangle ABC$ の重心を $G$、$\triangle AED$ の重心を $G'$ とする。 (1) 点 $D, E, G'$ の位置ベクトルを $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で表せ。 (2) ベクトル $\vec{GG'}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で表せ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、頂点 $A, B, C$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ とする。辺 $BC$ を $2:3$ に内分する点を $D$、辺 $BC$ を $1:2$ に外分する点を $E$、$\triangle ABC$ の重心を $G$、$\triangle AED$ の重心を $G'$ とする。

(1) 点 $D, E, G'$ の位置ベクトルを $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で表せ。

(2) ベクトル $\vec{GG'}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で表せ。

2. 解き方の手順

(1)

点 $D$ は辺 $BC$ を $2:3$ に内分するから、その位置ベクトル $\vec{d}$ は、

$$\vec{d} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{2+3} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{5}$$

点 $E$ は辺 $BC$ を $1:2$ に外分するから、その位置ベクトル $\vec{e}$ は、

$$\vec{e} = \frac{-2\vec{b} + \vec{c}}{1-2} = 2\vec{b} - \vec{c}$$

$\triangle AED$ の重心 $G'$ の位置ベクトル $\vec{g'}$ は、

$$\vec{g'} = \frac{\vec{a} + \vec{d} + \vec{e}}{3} = \frac{\vec{a} + \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{5} + 2\vec{b} - \vec{c}}{3} = \frac{\vec{a} + \frac{13\vec{b} - 3\vec{c}}{5}}{3} = \frac{5\vec{a} + 13\vec{b} - 3\vec{c}}{15}$$

(2)

$\triangle ABC$ の重心 $G$ の位置ベクトル $\vec{g}$ は、

$$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$$

したがって、

$$$$

\begin{aligned}

\vec{GG'} &= \vec{g'} - \vec{g} \\

&= \frac{5\vec{a} + 13\vec{b} - 3\vec{c}}{15} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \\

&= \frac{5\vec{a} + 13\vec{b} - 3\vec{c} - 5\vec{a} - 5\vec{b} - 5\vec{c}}{15} \\

&= \frac{8\vec{b} - 8\vec{c}}{15} = \frac{8}{15}(\vec{b} - \vec{c})

\end{aligned}

$$$$

3. 最終的な答え

(1)

$\vec{d} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{5}$

$\vec{e} = 2\vec{b} - \vec{c}$

$\vec{g'} = \frac{5\vec{a} + 13\vec{b} - 3\vec{c}}{15}$

(2)

$\vec{GG'} = \frac{8}{15}(\vec{b} - \vec{c})$