ABCDEFの6文字をすべて使ってできる順列を辞書式順序で並べたとき、 (1) 49番目の文字列を求めよ。 (2) FBCDAEは何番目の文字列か。

1. 問題の内容

ABCDEFの6文字をすべて使ってできる順列を辞書式順序で並べたとき、

(1) 49番目の文字列を求めよ。

(2) FBCDAEは何番目の文字列か。

2. 解き方の手順

(1) 49番目の文字列を求める。

* 6文字の順列は全部で $6! = 720$ 個ある。

* Aから始まる順列は $5! = 120$ 個ある。

* Bから始まる順列も $5! = 120$ 個ある。

* Cから始まる順列も $5! = 120$ 個ある。

* Dから始まる順列も $5! = 120$ 個ある。

* Eから始まる順列も $5! = 120$ 個ある。

* Fから始まる順列も $5! = 120$ 個ある。

AからEまでの順列は、$5! \times 5 = 120 \times 5 = 600$ 個なので、49番目はAから始まる順列の中にある。

* Aから始まる順列の中で、

* ABから始まる順列は $4! = 24$ 個ある。

* ACから始まる順列は $4! = 24$ 個ある。

* ADから始まる順列は $4! = 24$ 個ある。

* AEから始まる順列は $4! = 24$ 個ある。

* AFから始まる順列は $4! = 24$ 個ある。

Aから始まり、AB, AC, AD, AEから始まる順列は、$4! \times 4 = 24 \times 4 = 96$ 個なので、49番目はAB, AC, AD, AEのどれかから始まる順列の中にある。

49番目は、Aから始まる順列の中で数えると、$49 - 1 = 48$番目である。

ABから始まる順列は24個あるので、ACから始まる順列は$25～48$番目となる。

したがって、48番目はACから始まる順列の中にある。

ACから始まる順列の中で、

* ACBDから始まる順列は $2! = 2$ 個ある。

* ACBEから始まる順列は $2! = 2$ 個ある。

* ACBFから始まる順列は $2! = 2$ 個ある。

* ACDBから始まる順列は $2! = 2$ 個ある。

* ACDEから始まる順列は $2! = 2$ 個ある。

* ACDFから始まる順列は $2! = 2$ 個ある。

* ACEBから始まる順列は $2! = 2$ 個ある。

* ACEDから始まる順列は $2! = 2$ 個ある。

* ACEFから始まる順列は $2! = 2$ 個ある。

* ACFBから始まる順列は $2! = 2$ 個ある。

* ACFDから始まる順列は $2! = 2$ 個ある。

* ACFEから始まる順列は $2! = 2$ 個ある。

ACで始まり、ACBD, ACBE, ACBF, ACDB, ACDE, ACDF, ACEB, ACED, ACEF, ACFB, ACFD, ACFEから始まる順列は、$2! \times 12 = 2 \times 12 = 24$個なので、48番目はこれらのどれかから始まる順列の中にある。

ACで始まる順列の中で数えると、$48 - 24 = 24$番目である。

ACで始まる順列は$4! = 24$個なので、ACFEDBが48番目となる。

したがって、49番目の文字列はACFEDBである。

(2) FBCDAEが何番目の文字列かを求める。

* Aから始まる順列は $5! = 120$ 個

* Bから始まる順列は $5! = 120$ 個

* Cから始まる順列は $5! = 120$ 個

* Dから始まる順列は $5! = 120$ 個

* Eから始まる順列は $5! = 120$ 個

これらを足すと、$120 \times 5 = 600$ 個

Fから始まる文字列の中で、

* FAから始まる順列は $4! = 24$ 個

* FBから始まる順列は $4! = 24$ 個

* FCから始まる順列は $4! = 24$ 個

* FDから始まる順列は $4! = 24$ 個

* FEから始まる順列は $4! = 24$ 個

FBCDAEなので、

* FBAから始まる順列は $3! = 6$ 個

* FBCから始まる順列は $3! = 6$ 個

* FBDから始まる順列は $3! = 6$ 個

* FBEから始まる順列は $3! = 6$ 個

FBCから始まる文字列の中で、

* FBCAから始まる順列は $2! = 2$ 個

* FBCDAEなので、

* FBCDAEは1番目

FBCDAEは、

$5! \times 5 + 4! \times 1 + 3! \times 2 + 2! \times 0 + 1 = 600+24+12+1=637$番目

3. 最終的な答え

(1) ACFEDB

(2) 637