$\triangle ABC$において、$\sin A : \sin B : \sin C = 7 : 5 : 3$のとき、この三角形の最も大きい角$A$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$\sin A : \sin B : \sin C = 7 : 5 : 3$のとき、この三角形の最も大きい角$A$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$であるから、$a:b:c = 7:5:3$となる。

したがって、$a = 7k, b = 5k, c = 3k$ (ただし、$k>0$)とおくことができる。

余弦定理を用いて、角$A$を求める。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$a = 7k, b = 5k, c = 3k$を代入すると、

$\cos A = \frac{(5k)^2 + (3k)^2 - (7k)^2}{2(5k)(3k)} = \frac{25k^2 + 9k^2 - 49k^2}{30k^2} = \frac{-15k^2}{30k^2} = -\frac{1}{2}$

$\cos A = -\frac{1}{2}$となる$A$の値を求める。$0 < A < \pi$の範囲で考えると、

$A = \frac{2}{3}\pi = 120^\circ$

3. 最終的な答え

$120^\circ$