8本のくじの中に当たりくじが3本入っている。AさんとBさんが順番に1本ずつくじを引き、引いたくじは元に戻さない。 (ア) Aさんが当たり、Bさんが外れる確率を求める。 (イ) Bさんが外れたという条件のもとで、Aさんが当たる条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

8本のくじの中に当たりくじが3本入っている。AさんとBさんが順番に1本ずつくじを引き、引いたくじは元に戻さない。

(ア) Aさんが当たり、Bさんが外れる確率を求める。

(イ) Bさんが外れたという条件のもとで、Aさんが当たる条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(ア) Aさんが当たり、Bさんが外れる確率

Aさんが当たる確率は $\frac{3}{8}$。

Aさんが当たった後、当たりくじは2本、はずれくじは5本、全体のくじは7本になる。

Bさんが外れる確率は $\frac{5}{7}$。

したがって、Aさんが当たり、Bさんが外れる確率は、

$\frac{3}{8} \times \frac{5}{7} = \frac{15}{56}$

(イ) Bさんが外れたという条件のもとで、Aさんが当たる条件付き確率

P(Aが当たる | Bが外れる) = P(Aが当たる かつ Bが外れる) / P(Bが外れる)

まず、P(Bが外れる)を計算する。

Bさんが外れるのは、Aさんが当たってBさんも外れる場合と、Aさんが外れてBさんが外れる場合の2通りがある。

Aさんが当たってBさんが外れる確率は、すでに(ア)で計算しており、$\frac{15}{56}$。

Aさんが外れる確率は $\frac{5}{8}$。

Aさんが外れた後、当たりくじは3本、はずれくじは4本、全体のくじは7本になる。

Bさんが外れる確率は $\frac{4}{7}$。

したがって、Aさんが外れてBさんが外れる確率は、

$\frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56}$

P(Bが外れる) = P(Aが当たる かつ Bが外れる) + P(Aが外れる かつ Bが外れる) = $\frac{15}{56} + \frac{20}{56} = \frac{35}{56} = \frac{5}{8}$

したがって、求める条件付き確率は、

$\frac{\frac{15}{56}}{\frac{35}{56}} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$

3. 最終的な答え

(ア) $\frac{15}{56}$

(イ) $\frac{3}{7}$