パラメータ表示された関数 $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ に対して、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める。

1. 問題の内容

パラメータ表示された関数 $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ に対して、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{dy}{dx}$ を求める。

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ $t$ で微分する。

$\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t)$

$\frac{dy}{dt} = a\sin t$

$\frac{dy}{dx}$ は $\frac{dy}{dt} / \frac{dx}{dt}$ で求められるので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{a\sin t}{a(1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}$

三角関数の半角の公式を用いると、

$\sin t = 2\sin \frac{t}{2}\cos \frac{t}{2}$

$1 - \cos t = 2\sin^2 \frac{t}{2}$

これらを代入して$\frac{dy}{dx}$ を簡略化すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2\sin \frac{t}{2}\cos \frac{t}{2}}{2\sin^2 \frac{t}{2}} = \frac{\cos \frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2}} = \cot \frac{t}{2}$

(2) $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dx} (\cot \frac{t}{2})$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt} (\cot \frac{t}{2}) \cdot \frac{dt}{dx}$

$\frac{d}{dt} (\cot \frac{t}{2}) = -\frac{1}{2\sin^2 \frac{t}{2}}$

$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}} = \frac{1}{a(1 - \cos t)} = \frac{1}{2a\sin^2 \frac{t}{2}}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{2\sin^2 \frac{t}{2}} \cdot \frac{1}{2a\sin^2 \frac{t}{2}} = -\frac{1}{4a\sin^4 \frac{t}{2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \cot \frac{t}{2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{4a\sin^4 \frac{t}{2}}$