両親2人と子供5人の計7人が円形のテーブルの周りに座る場合の数を、以下の条件でそれぞれ求める問題です。 (1) 7人全員が座り、両親の間に子供が1人だけ挟まるような並び方 (2) 7人の中から4人だけが座る場合のすべての並び方 (3) 7人の中から4人だけが座り、両親が隣り合うような並び方 (4) 7人の中から4人だけが座り、両親が正面に向かい合うような並び方

1. 問題の内容

両親2人と子供5人の計7人が円形のテーブルの周りに座る場合の数を、以下の条件でそれぞれ求める問題です。

(1) 7人全員が座り、両親の間に子供が1人だけ挟まるような並び方

(2) 7人の中から4人だけが座る場合のすべての並び方

(3) 7人の中から4人だけが座り、両親が隣り合うような並び方

(4) 7人の中から4人だけが座り、両親が正面に向かい合うような並び方

2. 解き方の手順

(1)

まず、両親と間に入る子供1人の並び方を考えます。子供の選び方は5通りあります。

次に、両親と子供の並び方ですが、両親のどちらが右に来るか、左に来るかで2通りあります。したがって、両親と間に入る子供1人の並び方は $5 \times 2 = 10$ 通りです。

この3人を1つのグループとして考えます。すると、残りの子供は4人なので、合計5つのものを円形に並べることになります。

円形に並べる方法は $(5-1)! = 4! = 24$ 通りです。

したがって、全体の並び方は $10 \times 24 = 240$通りです。

(2)

7人の中から4人を選ぶ方法は $_7C_4$ 通りです。

$_7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

選んだ4人を円形に並べる方法は $(4-1)! = 3! = 6$ 通りです。

したがって、すべての並び方は $35 \times 6 = 210$ 通りです。

(3)

まず、両親を1つのグループとして考えます。両親の並び方は2通りあります。

次に、残りの5人の子供から2人を選びます。これは $_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

両親のグループと選ばれた2人の子供、合計3つのものを円形に並べる方法は $(3-1)! = 2! = 2$ 通りです。

したがって、すべての並び方は $2 \times 10 \times 2 = 40$ 通りです。

(4)

7人の中から4人を選ぶとき、両親が向かい合うためには、残り2人を選ぶ必要があります。

残りの5人の子供から2人を選ぶ方法は $_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

円形のテーブルで向かい合う席の組は1つ決まると、残りの席は2つ並んだ席になります。選ばれた子供2人の並び方は $2!=2$ 通り。したがって並び方は 10 x 2 = 20 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 240通り

(2) 210通り

(3) 40通り

(4) 20通り