(1) 10人がA,Bの2つの部屋に入る方法は何通りあるか。ただし、全員が1つの部屋に入ってもよい。 (2) 10人が2つの組A,Bに分かれる方法は何通りあるか。 (3) 10人が2つの組に分かれる方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) 10人がA,Bの2つの部屋に入る方法は何通りあるか。ただし、全員が1つの部屋に入ってもよい。

(2) 10人が2つの組A,Bに分かれる方法は何通りあるか。

(3) 10人が2つの組に分かれる方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 10人がA,Bの2つの部屋に入る場合、各人はAかBのどちらかの部屋に入る選択肢がある。したがって、1人あたり2通りの選択肢があるため、10人全員の選び方は $2^{10}$ 通りとなる。

(2) 10人が2つの組A,Bに分かれる場合、まず、Aに入る人数を決定する。Aに入る人数が1人の場合、Bには9人が入る。Aに入る人数が2人の場合、Bには8人が入る、というように考える。Aに入る人数は0人から10人までの11通りあるが、Aに0人だとBに10人となり、AとBが区別できないため、Aに10人、Bに0人の場合も同様に除外する必要がある。 各人の選び方は ${}_{10}C_i$ 通り（$i$はAに入る人数）となる。

Aに入る人数が $i$ 人の場合、Bに入る人数は $10-i$ 人となる。

ただし、AとBは区別されるため、Aに $i$ 人、Bに $10-i$ 人の場合と、Aに $10-i$ 人、Bに $i$ 人の場合も区別される。

よって、求める場合の数は $\sum_{i=0}^{10} {}_{10}C_i = 2^{10}$ となる。

しかし、Aが空の場合とBが空の場合を除外する必要があるため、

$2^{10}-2=1024-2=1022$ 通りとなる。

(3) 10人が2つの組に分かれる場合、組A,Bの区別がないため、組A,Bを区別する場合の数を2で割る必要がある。ただし、10人を2つの組に分ける場合、どちらの組も空集合になることは許されないので、少なくとも1人は各組に属する必要がある。

(2)の場合と同様に考えると、最初に組を区別して考えると$2^{10}-2$通り。組を区別しないので、それを2で割ると$(2^{10}-2)/2 = (1024-2)/2 = 1022/2 = 511$ 通りとなる。

3. 最終的な答え

(1) 1024通り

(2) 1022通り

(3) 511通り