以下の定積分を計算する問題です。 $\int_{1}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{5}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{1}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx$

1. 問題の内容

以下の定積分を計算する問題です。

$\int_{1}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{5}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{1}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を一つにまとめます。

$\int_{1}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{5}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{1}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx$

$= \int_{1}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx + \int_{3}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{1}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx$

$= \int_{1}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{1}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx$

$= 0$

または、積分を別々に計算しても良いです。

$\int_{1}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx = [7 \frac{x^3}{3} - 7 \frac{x^2}{2} + 7x ]_1^3 = (\frac{7}{3} (3^3 - 1) - \frac{7}{2}(3^2 - 1) + 7(3-1)) = \frac{7}{3} (26) - \frac{7}{2} (8) + 7(2) = \frac{182}{3} - 28 + 14 = \frac{182}{3} - 14 = \frac{182-42}{3} = \frac{140}{3}$

$\int_{5}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx = [7 \frac{x^3}{3} - 7 \frac{x^2}{2} + 7x ]_5^3 = (\frac{7}{3} (3^3 - 5^3) - \frac{7}{2}(3^2 - 5^2) + 7(3-5)) = \frac{7}{3} (27-125) - \frac{7}{2}(9-25) + 7(-2) = \frac{7}{3}(-98) - \frac{7}{2}(-16) -14 = -\frac{686}{3} + 56 -14 = -\frac{686}{3} + 42 = \frac{-686+126}{3} = \frac{-560}{3}$

$\int_{1}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx = [7 \frac{x^3}{3} - 7 \frac{x^2}{2} + 7x ]_1^5 = (\frac{7}{3} (5^3 - 1) - \frac{7}{2}(5^2 - 1) + 7(5-1)) = \frac{7}{3} (124) - \frac{7}{2} (24) + 7(4) = \frac{868}{3} - 84 + 28 = \frac{868}{3} - 56 = \frac{868 - 168}{3} = \frac{700}{3}$

$\frac{140}{3} - (-\frac{560}{3}) - \frac{700}{3} = \frac{140}{3} + \frac{560}{3} - \frac{700}{3} = \frac{700}{3} - \frac{700}{3} = 0$

3. 最終的な答え

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